Resumen.- El presente trabajo trata el desarrollo e implementación de un prototipo de un sistema de control electrónico para una máquina dosificadora de sólidos pulverizados, con énfasis en el desarrollo del modelado matemático de un sistema de control PID digital sintonizado para el prototipo desarrollado en el proyecto, por lo que algunos datos que se usarán son exclusivamente propios del hardware implementado para el prototipo, por lo que deben ser considerados como datos particulares, también se calcula la capacidad de respuesta el modelo de control frente a perturbaciones externas usando análisis de lugar de raices para una función que aproxima el comportamiento del sistema de control en pequeños intervalos de tiempo discreto, el desarrollo de esta función no es el objetivo de este documento por lo que no se explicará su deducción, posteriormente se analizará la precisión y error del sistema para luego desarrollar las conclusiones acerca del proyecto, cabe mencionar que el prototipo fue implementado con su respectivo hardware y software con resultados satisfactorios para el funcionamiento del sistema mecánico y la correspondiente interface con el usuario a través de un ordenador.

INTRODUCCIÓN

Un dosificador de sólidos es un sistema electromecánico que entrega una proporción dada de un material pulverizado mediante el pesaje del mismo, con la finalidad de mezclar con otros componentes constituyentes de una mezcla en particular.

Un sistema automático de dosificación es un sistema que puede realizar operaciones de dosificación, con el concurso mínimo y a veces casi nulo del personal humano; al tratarse de un sistema automático, pertenece a la categoría de automatización programable (lógica programable), que se emplea cuando el volumen de producción es relativamente bajo y hay una diversidad de producción a obtener. La producción se obtiene en lotes, cuando se completa el lote el equipo se reprograma para modificar la configuración del producto y procesar el siguiente lote, gracias a las características de programación y a la adaptabilidad resultante del equipo, muchos productos diferentes y únicos en su género pueden obtenerse económicamente en pequeños lotes. A continuación se pasará a la descripción del sistema.

El sistema automático para la dosificación de sólidos que se ilustra en las figura (1 y 2), esta conformado por una parte mecánica conformada por husillos (o tornillos sin fin cubiertos por una carcaza cilíndrica de metal) accionados por motores AC, que es la que entra en contacto directo con las materias primas que van a ser sujetas a una dosificación automática. Una parte electrónica se encarga del control de la sección mecánica del dosificador; en este caso, se empleo el microprocesador Z80 por su elevada capacidad de procesamiento, es en esta parte donde se instala el software de control y donde se realizan los cálculos para el tiempo de respuesta del sistema que mas adelante vamos a usar en el modelado matemático.

A este dosificador, se le ha dotado de un sistema de apoyo externo que le permite lograr una interface compatible con cualquier célula de trabajo a la cual se le esté instalando como parte funcional, este sistema de apoyo se llama sistema PLC (Controlador Lógico Programable <siglas en ingles>), este sistema posee su propio protocolo de comunicación con el dosificador de sólidos y sus propios códigos de errores.

Los dosificadores funcionan con sólidos a granel con mezclas sólido-liquido o sólido-gas, que pueden ser de flujo fácil, pegajosos, resinosos, corrosivos, erosivos, fluidizables, calientes, plásticos o pastosos, en nuestro caso se ha centrado básicamente en la dosificación de productos sólidos pulverizados.

A. VISTA SIMPLIFICADA DEL SISTEMA

Figura 1. Vista simplificada del sistema

B. DESCRIPCIÓN GRÁFICA DEL SISTEMA

Figura 2. Diagrama de bloques del proyecto

PROCEDIMIENTO

A. ANÁLISIS MATEMÁTICO

El análisis matemático para el controlador, está implementado mediante un software que es ejecutado por un sistema microprocesado, este algoritmo instrumenta una acción de control PID. El hardware está conformado por actuadores, y sensores, que están representados por sus respectivos modelos matemáticos aproximados.

A.1. DETERMINACIÓN DE LAS VARIABLES DE CONTROL DEL SISTEMA LAZO CERRADO

La Fig. 3. ilustra el tipo de sistema realimentado de control, que se ha diseñado, y que está en función de las siguientes magnitudes:

Figura 3. Variables de control del sistema lazo cerrado

• <CONTROLADOR>

Esta unidad está conformada por un sistema microprocesado, que ejecuta el algoritmo de control PID. Además, determina el error a partir de la comparación de la consigna y la señal realimentada, donde:
< R(k) > Peso de referencia de dosificación enviado previamente desde el PC que indica el peso al cual se debe dosificar la materia prima.
< Q(k) > Valor de ralimentación del peso actual.
< E(k) > Error existente entre Peso ref. y el peso actual que esta siendo realimentado
< M(k) > Acción de control derivativa e integral que se aplica en el proceso.
Fig 4. Curvas de respuesta a un impulso con valores diferentes de coeficiente de amortiguación "z".

- ESPECIFICACIONES DE RESPUESTA TRANSITORIA DEL SISTEMA PID

Figura 4. Especificaciones de respuesta transitoria del sistema PID

Si se observa en la Fig.4., las curvas con un coeficiente de amortiguación "z < 0.4 y z > 0 ", responden mucho mas rápido ante cambios abruptos, pero poseen un máximo sobreimpulso que le hace sobrepasar el valor de establecimiento, para que finalmente en un tiempo de establecimiento mas corto converja al valor final. Estas curvas serian útiles para un sistema mecánico en el cuál además de poseer un sistema de alimentación controlado poseyera un sistema de desalojo también controlado para poder ajustar el peso exacto, lo cual no se ha proyectado en el presente sistema mecánico. Por otra parte, las curvas con un " z>=1 ", tienen como ventaja que no tienen un elevado sobre impulso, pero por el contrario, generan un tiempo de establecimiento mayor, haciendo que el sistema reaccione muy tardíamente ante perturbaciones abruptas, aumentando de ésta forma el error en la dosificación. Por lo tanto, solo se considerarán para el proyecto, las curvas que están entre " z = 0.8 y z = 0.4 ", debido a que son las mas adecuadas para el funcionamiento de nuestro sistema, aunque generan un cierto sobre impulso, pero son muy pequeños como para ser consideradas como un elemento crítico. Por contraparte, estos coeficientes de amortiguación hacen que la respuesta transitoria ( tiempo de respuesta del sistema ), este entre parámetros aceptables o sea ni muy rápido, ni muy lento y la convergencia al valor de establecimiento posea un adecuado amortiguamiento reduciendo así, el error en la dosificación.

En base a lo anterior, se ha escogido para el sistema el siguiente coeficiente de amortiguación:

Que es el promedio de los valores extremos.
El coeficiente de amortiguación válido para sistemas de segundo orden es:

Dado un sistema de segundo orden:

" El coeficiente de amortiguación es la relación de la amortiguación F y el amortiguamiento crítico Fc"
Donde Fc se obtiene de:

La amortiguación crítica se refiere a partir de que valor las raíces son imaginarias, por tanto se consideran solo los parámetros que están dentro la raíz, como sigue:

Usando la definición del coeficiente de amortiguación, su expresión para sistemas de segundo orden está dada por:

La función de transferencia de un sistema de control proporcional, derivativo e integral, en el plano complejo es:

Donde el coeficiente de amortiguamiento es el siguiente :

Como es lógico suponer para calcular el tiempo derivativo de un sistema de control digital, que es el que determina el tiempo de respuesta del sistema, es necesario que este tiempo derivativo sea considerado dentro del tiempo que tarda el microprocesador en ejecutar el programa fuente del algoritmo de control PID. Esto nace a partir de las bases del teorema de muestreo digital de una señal analógica (teorema de Nyquist), según la cual: " El periodo de la señal muestreo debe ser por lo menos la mitad del periodo de la señal muestreada, esto para tener por lo menos una idea de la forma de la señal muestreada en el tiempo ", para nuestros intereses basta con igualar el tiempo derivativo (Td) o tiempo de respuesta del sistema de control ante un cambio abrupto, con el tiempo de ejecución por parte del microprocesador del algoritmo de control.

Por lo cual para un z=0.6 , con un tiempo derivativo de Td= 1ms, y usando la relación (1), se han deducido las siguientes constantes:

Por lo tanto, en base a estas constantes, las ecuaciones de la función de transferencia en el plano complejo y en el plano temporal se reescriben:

- ALGORITMO DE CONTROL PID <EDERLY Y COLABORADORES, 1960>
Sacando la antitransformada de Laplace de la ecuación (2), teniendo como referencia las siguientes antitransformadas ([S F(S)]= f '(t) ; ([S²F(S)]= f "(t) y aplicando la definición de la derivada de una función continua en el tiempo { Lim [ f(t)-f(t-1) ]/DT} para m(k) = f(t) , obtenemos la siguiente expresión:

Donde:

M(k) = Velocidad de dosificación de los husillos

k = Realimentación del sensor de pesaje
r (k) = Referencia del peso final de dosificación
e (k) = Error entre el valor de referencia r(k) y el valor actual realimentado " k ".
e (k-1) = Es el valor anterior de e (K)
e (k-2) = Es el valor anterior de e (K-1)
Ti = Tiempo de integración de la función de control
Td = Tiempo de derivación de la función de control
T = Tiempo de muestreo,( tiempo de conversión ADC)

La ecuación (3) representa la velocidad de dosificación de los husillos, del sistema mecánico, " k " es la realimentación del sensor de pesaje automático instalado en el sistema mecánico.

Finalmente para que este algoritmo se complete es necesario que el procesador almacene el valor actual del error e(k) y los otros valores de error previos es decir e(k-1), e(k-2).

Figura 5. Gráfica ideal de comportamiento de la ecuación (3).

Para un r(k)=20 se tiene.

Figura 6. Gráfica real de comportamiento de la ecuación (3).

Figura 7. Gráfica promediada real que genera el algoritmo
de control PID del proyecto.

• <AMPL>

Es un controlador de voltaje AC por fase, que está controlado por impulsos generados en la etapa del controlador. Dicho controlador entrega una potencia variable RMS al motor en función de los impulsos. su función de transferencia es:

Donde:
V= voltaje eficaz generado a partir de un control de velocidad por fase.
a= Ángulo de disparo de los triac´s.

• <PROCESO>

Está conformado por los motores eléctricos, y el sistema mecánico que transporta los productos.

La velocidad sincrónica de un motor universal en función a la frecuencia de la línea de alimentación AC y el número de polos del motor es:

Donde:
Wm = Velocidad sincrónica del motor.
f = Frecuencia de línea.
n = Nro. de polos del motor.
Como : f = 50Hz y el motor universal que estamos empleando tiene n = 2 , entonces:
Wn = 3000 [ rad/min ]
Wn = 3000/60= 50 [ rad/seg ] ... (4)
El voltaje RMS entregado por la línea de alimentación al motor en condiciones normales, es:
Vrms= 220 [ Volts ] ... (5)
La relación de la velocidad de giro del motor en función al voltaje RMS es:
w= K*Vrms² [ rad/ (seg-Volt²) ]
Empleando los valores obtenidos en (4) y (5) hallamos el valor de K para nuestro motor:
K= w/ Vrms² =50 / 220²
K=1.033057851E-3
Entonces la relación de la velocidad de giro del motor en función del voltaje RMS entregado por <AMPL> es:
w= 1.033057851E-3*Vrms² [ rad/ (seg-V²) ]...(6)
El volumen total transportado en una revolución del eje del husillo:
Volumen = 30.94 [ cm3/rad ]...(7)
Multiplicando (6) y (7), se obtiene la relación de la velocidad volumétrica de dosificación del sistema electromecánico en función del voltaje RMS entregado por <AMPL> :

• <PESO>:

Equivalencia que relaciona peso con volumen:
Por aproximación se define, que:
1 cm3 de agua = 1 gramo
Por lo que la relación del peso en función del voltaje RMS que entrega <AMPL>, está dada por:

• <SENSOR DE PESAJE>:

Está representado por el sensor de realimentación, que tiene la siguiente función de trasferencia obtenida a partir de hoja de datos para una temperatura ambiental de 25ºC.

• <AV>

Amplificador de ganancia, amplifica la señal generada por el sensor de realimentación .

• <FP>

Filtro pasa bajo, limitado en banda para eliminar perturbaciones, todo esto según el teorema de muestreo.

Figura 8. Filtro pasa bajo.

Obteniendo el módulo | Vf / AV| se tiene:

• </AD>:

Convertidor analógico digital (ADC0808), de 100u Seg de retardo, con una sensibilidad de 20mV/V, tiene el siguiente modelo matemático:
q= (255/5v)* |Vf | = 51 Vf

Donde: q= Valor binario, que representa el peso realimentado desde el sensor de peso.

Finalmente "q" se realimenta al microprocesador para compararse con el peso de referencia:

Donde: Q(k)= Valor de realimentación

A.2. MODELO APROXIMADO DEL SISTEMA

Figura 9. Modelo aproximado del sistema.

En función a las características particulares del sistema mecánico desarrollado para el proyecto se ha llegado a obtener la siguiente función de transferencia para establecer la estabilidad del sistema.

Cabe hacer notar que este análisis matemático, se trata simplemente de la aproximación del comportamiento del sistema de control en un punto, ya que teóricamente, un sistema de control PID está capacitado para realizar esta compensación, lo importante es que se ha demostrado que el comportamiento del sistema en intervalos pequeños es estable ( el desarrollo de este ítem no se encuentra dentro de los objetivos del presente documento.

Simplificando el diagrama de bloques tenemos:

R(S) S ( S + 10 )
Trazando del lugar de raíces:

Figura 10. Lugar de raíces de la ecuación de control resultante.

b) Como nuestra ecuación característica tiene un polo en el origen se trata de un sistema de orden uno por lo tanto el error estacionario(*) "Ess", para distintos valores de e (t), están definidos por:
- Para entrada impulso, e (t) = d(t) :

Graficando la respuesta de la ecuación característica en el tiempo, con una entrada impulsiva:

Figura 11. Respuesta ante una entrada impulsiva.

- Para entrada escalón unitario, e (t) = 1 :

Graficando la respuesta de la ecuación característica en el tiempo, con una entrada escalón unitario:

Figura 12. Respuesta ante una entrada escalón unitario.

- Para entrada velocidad, e (t) = t:

Graficando la respuesta de la ecuación característica en el tiempo, con una entrada velocidad:

Figura 13. Respuesta ante una entrada velocidad.

- Para entrada aceleración, e (t) = t²:

El error estacionario, que representa la exactitud de nuestro sistema de control, nos indica que ante perturbaciones externas del tipo: impulsivo, escalón y velocidad, nuestro sistema compensa estas perturbaciones eficientemente, pero no así al tratarse de una perturbación del tipo aceleración, en todo caso, cabe hacer notar que este análisis matemático, se trata simplemente de la aproximación del comportamiento del sistema de control en un punto, lo cual no indica que el sistema no vaya a compensar el error de aceleración. Con lo que se ha demostrado que el comportamiento de nuestro sistema en intervalos pequeños de tiempo es estable.

RESULTADOS

PRECISIÓN DEL SISTEMA

La resolución para nuestro ADC que tiene un bus de datos de 8 bits es:
resolución = 28 = 255 [Niveles de tensión]
La precisión del sistema con esta resolución y tomando en cuenta la capacidad máxima del sensor de pesaje que es de 18.14 [Kgr], esta dada por:

Precisión = Máxima escala de peso / 255

Precisión = 18140 [gramos] / 255

Este es el peso mínimo que el sistema dosifica.

ERROR DEL SISTEMA

Existen dos tipos de errores inherentes al sistema, un ERROR ABSOLUTO que no se puede modificar, que es propio del ADC que se emplea en el proyecto y que afecta a la codificación binaria de los valores de voltaje discretos procedentes del sensor de pesaje, un ERROR RELATIVO que está en relación a las características tanto del sistema mecánico y de control (Hardware y Software), que afecta la exactitud en la dosificación.

< ERROR ABSOLUTO >

Considerando que el ADC que se esta empleando en el proyecto tiene un error de ½ Lsb y la precisión del sistema es de 71.13 [gramos], obtenemos la siguiente expresión válida para el sistema.

La precisión en función al error absoluto del ADC:
Precisión = 71.13 ± 35.56 [gramos]

< ERROR RELATIVO >

El peso total transportado por el sistema mecánico en un segundo es:
peso = 30.94 [ gramos/seg ]

Tiempo de respuesta del sistema de control = 1.1E-3 [ seg ]

El mínimo incremento de peso que el sistema detecta es:

Peso mínimo = ( 30.94 [grs/seg] )* 1.1E-3 [seg]

Peso mínimo = 34.034 [ mili gramos ]
El error en la dosificación de productos por parte del sistema de control, esta representado por la siguiente expresión:

Para el peso mínimo que el sistema puede detectar, se tiene el siguiente error en la dosificación:
e% = 0.048 %

Para el peso máximo a dosificar que es de 18140 [grs], se tiene un error en la dosificación de:
e% = 0.00019 %

El error disminuye si el peso a dosificar es mayor.

CONCLUSIONES

Ha sido posible diseñar e implementar un sistema de control digital computarizado para un dosificador de sólidos pulverizados, integrada a una unidad de apoyo PLC virtual, el cual es usado como elemento de interface entre el exterior (célula de trabajo, operarios) y la máquina de dosificadora de pulverizados.

En la práctica se ha visto que la estructura mecánica del dosificador influencia en la precisión de la dosificación, esto por efectos de inercia, rozamiento, y humedad del material que se está dosificando, pero el sistema de control diseñado demostró ser lo suficientemente confiable como para compensar estos defectos físicos.

Como el sensor de peso (galga extensiométrica) usado en el prototipo es sensible a variaciones de temperatura, se tuvo que compensar este defecto mediante la implementación de una etapa de autocalibración del sistema por software.

La función de transferencia del control de velocidad por fase es una función no lineal, por lo que se realizó un análisis aproximado de la estabilidad del sistema, mediante la linealización de esta función.

En el proceso de medición y calibración se obtuvo los siguientes resultados: precisión de 71.13 gramos y un máximo error de 0.048%.

BIBLIOGRAFÍA

[1] Ogata Katsuhiko, "Ingeniería de Control Moderna", PRENTICE-HALL HISPANO AMERICANA S.A.
[2] Rashid Muhammed, "Electrónica de Potencia".
[3] P.P.J. van den BOSCH "Linear System Analysis and Design with TRIP", Second, Revised Edition, 1989, BOZA automatisering BV.
[4] Fitzgerald A.E., "Máquinas Eléctricas", MEXICANA S.A.
[5] Almeida, "Electrónica Industrial", ERICA S.A.