Para
resolver éste problema de optimización se utilizó un modelo de programación
entera cuyo objetivo fue minimizar el costo del pedido. La resolución
computacional del modelo se realizó usando Premium Solver que es un macro
de complemento para Excel que permite resolver problemas de investigación
operativa.
A continuación se describirán los pasos que se siguieron para la
construcción del modelo matemático y su resolución.
Datos de entrada
Inicialmente el modelo cuenta con la siguiente información de entrada:
|
Costo de
realizar la orden
|
$150.00
|
|
Costo
almacenamiento
|
$1.00
|
|
Precio
del componente
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$12.00
|
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Mes
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Demanda
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|
1
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20
|
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2
|
20
|
|
3
|
30
|
|
4
|
40
|
|
5
|
140
|
|
6
|
360
|
|
7
|
500
|
|
8
|
540
|
|
9
|
460
|
|
10
|
80
|
|
11
|
0
|
|
12
|
20
|
|
Total
|
3,000
|
El
costo de realizar la orden es constante e independiente de la cantidad de
componentes pedidos; es decir, cada vez que Camco, Inc. efectúa un pedido
debe gastar $150 en transporte, papeleo y horas hombre. Nótese que debido
al reducido tamaño de los componentes, la magnitud del pedido no repercute
en magnitud sobre el costo de realizar la orden. Más aún el contratista
externo que provee el componente estableció un acuerdo con Camco, Inc. por
el cual se cobrará $150 como tarifa base por cualquier pedido efectuado.
El costo de almacenamiento es importante debido a que cada componente no
utilizado debe ser ingresado en almacenes incurriendo en costos de papeleo,
mano de obra y capital parado. Por otro lado la demanda anual estimada
proviene de datos estadísticos y estimaciones provistas por el departamento
de ventas de Camco, Inc.
Definición de Variables
Para poder resolver éste problema se comenzó por definir las variables de
decisión que intervinieron en el modelo, a saber:
xi
=
cantidad del componente a pedir en el mes i. Para todo i que va desde
1 a 12 (de Enero a Diciembre)
yi = igual
a 1 si se decide efectuar el pedido en el mes i, 0 si se decide no efectuar
el pedido en el mes i. Para todo i que va desde 1 a 12 (de enero a
diciembre)
Ii = cantidad
del componente a almacenar en inventario al final del mes i. Para todo i que
va desde 1 a 12 (de enero a diciembre)
Nótese que la cantidad de componentes a pedir debe ser entera puesto que no
es posible pedir fracciones de un componente. Por la misma razón, la
variable de inventario también debe ser entera. Además la variable que
decide si efectuar o no el pedido debe necesariamente tomar valores binarios
de 0 o 1.
Función Objetivo
La función objetivo resulta de la suma de todos los costos; es decir, costo
total de los componentes pedidos, el costo de realizar una orden y el costo
de almacenamiento. Esta función además debe ser minimizada. A continuación
se muestra la función objetivo:
Minimizar
z = $12.00x1
+ $12.00x2 + $12.00x3
+ $12.00x4 + $12.00x5
+ $12.00x6 +
$12.00x7
+ $12.00x8 + $12.00x9
+ $12.00x10 + $12.00x11
+ $12.00x12 +
$150y1
+ $150y2
+ $150y3
+ $150y4
+ $150y5
+ $150y6
+
$150y7
+ $150y8
+ $150y9
+ $150y10
+ $150y11
+ $150y12
+
$1.00I1
+ $1.00I2 +
$1.00I3 + $1.00I4
+ $1.00I5 +
$1.00I6 +
$1.00I7
+ $1.00I8 +
$1.00I9 + $1.00I10
+ $1.00I11 +
$1.00I12
Restricciones
El primer grupo de restricciones se refiere a la demanda y nos dice que la
cantidad que se va a pedir debe ser igual a la cantidad demandada más la
cantidad en inventario o, dicho de otra manera, la cantidad en inventario
debe ser igual a la cantidad pedida menos la cantidad demandada. Como quiera
que sea, debido a que la cantidad pedida puede exceder a la demandada, es
necesario considerar los componentes que ingresaron en el inventario en la
ecuación del siguiente mes. Así se formó el siguiente grupo de
restricciones de balance de demanda, pedidos e inventarios; a saber:
x1
= I1 + 20
cantidad pedida igual a cantidad en inventario más demanda
I1 + x2 = I2 + 20
cantidad en inventario más pedido igual a nuevo inventario más
demanda
I2
+ x3 = I3 + 30
I3
+ x4 = I4 + 40
I4
+ x5 = I5 + 140
I5
+ x6 = I6 + 360
I6
+ x7 = I7 + 500
I7
+ x8 = I8 + 540
I8
+ x9 = I9 + 460
I9
+ x10 = I10 + 80
I10
+ x11 = I11 + 0
I11
+ x12 = I12 + 20
La
siguiente restricción se refiere a la cantidad pedida y ésta nos dice que
si se efectúa un pedido éste deberá necesariamente ser inferior o igual a
la demanda total. Nótese en éste caso que el hecho de que se decida o no
efectuar un pedido depende de la variable z, por tanto cada vez que z tome
el valor de 1 la cantidad a pedir deberá ser menor a la demanda total
(3,000). Con todo esto en mente se encontró la siguiente restricción para
las cantidades a pedir:
xi
≤ 3,000 yi para todo i que va desde 1 hasta 12 (enero
a diciembre)
Las cantidades en inventario no tienen ninguna restricción específica.
Cabe señalar que éstas cantidades se encuentran implícitamente limitadas
debido a que el modelo tenderá a minimizarlas.
Finalmente, las cantidades a pedir deben ser enteras y positivas al igual
que las cantidades que ingresarán en el inventario. Similarmente, la
variable z que, ayudará a decidir si efectuar o no el pedido, deberá ser
binaria. Con todo esto en mente se formularon las siguientes restricciones:
xi
≥ 0, xi entero
para todo i que va desde 1 hasta 12 (enero a diciembre)
yi = 1 o yi = 0
para todo i que va desde 1 hasta 12 (enero a diciembre)
Ii ≥ 0, Ii entero
para todo i que va desde 1 hasta 12 (enero a diciembre)
Construcción del Modelo
El modelo fue construido en una hoja de Excel como puede verse en la tabla
anexa No. 1. Nótese que las ecuaciones de las restricciones y función
objetivo fueron convertidas en operaciones sobre celdas y que la función
objetivo a optimizar se encuentra en la celda N25.
Resolución del Modelo
El modelo fue resuelto usando Premium Excel Solver introduciéndose las
siguientes celdas como parámetros:
