donde
Q(q) es un vector de funciones no lineales que
describe la relación entre las variables de articulación y el espacio
cartesiano y Ja(q)
es
una matriz de dimensión 6´n
conocida como Jacobiano
Analítico.
El
vector de velocidades v=(
,w)
compuesto por la velocidad lineal
y la velocidad angular w, está relacionada con
a través de la expresión:
donde G0=(j,J,g) es una matriz de dimensión (3´3), que expresa la relación de (do/dt)
con la velocidad angular w.
Definiendo:
J(q)
= G ( Q ( q ) Ja ( q ) ),
el
vector de velocidades generalizadas
puede ser escrito ahora como función de la velocidad de articulaciones
de la forma:
donde
J(q)
es el jacobiano básico del
manipulador, conocido como Jacobiano
Geométrico, que es no singular en la región de operación. Existen
configuraciones en el espacio de trabajo del manipulador que producen un
Jacobiano Singular. En estas singularidades, el manipulador pierde uno o más
grados de libertad. Como consecuencia, el rango del Jacobiano disminuye y es
imposible obtener su inversa. En este trabajo es considerado el Jacobiano de
rango completo que puede ser obtenido planificando el movimiento del
manipulador fuera de las configuraciones singulares.
En
los casos donde existe contacto, las coordenadas de articulación no son
suficientes o no son adecuadas para determinar la tarea a ser ejecutada. La
tarea de contacto es mejor descrita en un sistema de coordenadas que
considere el entorno donde la tarea será ejecutada [Luca 94]. Por este
motivo, las variables sk Î
Âk
y sd Î
Âd
son escogidas como parámetros para el entorno. El primer parámetro está
asociado a las direcciones en las cuales el movimiento del elemento final
está restricto y el segundo considera las restricciones dinámicas del
elemento final. Entonces son establecidas las k
direcciones donde el movimiento del elemento final es posible, las d
direcciones correspondientes a las restricciones dinámicas de movimiento;
las 6-k-d direcciones donde el
movimiento es completamente restricto y por lo tanto cualquier acción del
elemento final puede causar una fuerza de reacción del entorno.
Considerando
las anteriores definiciones, la posición y velocidad del elemento final
vistas del entorno son dadas por:
donde
G(s)
es un vector de funciones no lineal que
relaciona
s
con
r. Del análisis anterior es observado que las ecuaciones (1) y (4)
describen la misma posición en el espacio, considerando el lado del
manipulador y el lado del entorno, por esta razón la siguiente ecuación de
acoplamiento debe ser cumplida:
Substituyendo
(4) en (2) y usando (4), puede ser obtenido el vector de velocidades
generalizadas como función de s y
de la forma:
donde
T(s)=G(G(s))(¶G(s)/¶(s))
tiene el mismo propósito que el Jacobiano del manipulador y es considerado
de rango completo en la región de operación. Dado que la velocidad
u
es única, en las coordenadas del entorno (6) o de las coordenadas del robot
(3), la siguiente igualdad es obtenida:
En
contactos puramente cinemáticos, las fuerzas de reacción no realizan ningún
trabajo en las direcciones admisibles de movimiento,
donde
fr
son las fuerzas de
reacción y
mr
son los momentos de reacción del elemento final.
La fuerzas generalizadas de reacción pueden ser escritas de la forma:
donde
las líneas de la matriz Yr
forman una base para las direcciones donde las fuerzas de reacción son
posibles y lr Î Â6-k-d
es el vector de multiplicadores de Lagrange para las mismas fuerzas.
Substituyendo (6) y (9) en (8) se obtiene la siguiente igualdad:
en
donde la matriz
Yr(s)
puede ser seleccionada. De la misma forma se puede mostrar que las fuerzas
admisibles de contacto
(F=Fr+Fa)
no realizan trabajo a lo largo de las restricciones cinemáticas, de forma
que:
La
fuerza Fa=Ya(s)la
es ocasionada por la reacción dinámica del entorno. La matriz Ya(s)
es escogida para satisfacer la siguiente condición
TkT Ya=0.
Modelo Dinámico
Utilizando
consideraciones de energía junto con la formulación de Lagrange, el
siguiente modelo dinámico es obtenido para el sistema Robot-Entorno [Luca
94]:
donde
M(q)
es la matriz de inercia del
robot, que es cuadrada de orden n
y definida positiva;
u(t)
corresponde al vector de torques / fuerzas en cada uno de los ejes;
Me(sd)
es la matriz de inercia del entorno,
cuadrada de orden
d
y positiva
definida, y:
Donde
c(q,
)
representa los torques centrífugos y de Coriolis;
g(q)
es el vector de torques gravitacionales;
De
y Ke
son las matrices de amortiguamiento y de rigidez del
entorno. La ecuación (12) describe la dinámica del robot y la ecuación
(13) describe la dinámica del entorno en d
direcciones dinámicas. El entorno es asumido como un sistema lineal de
segundo orden. El modelo es completado por las ecuaciones (7) y (11).
Si
bien el modelo definido es apropiado para simulación y análisis, la síntesis
de control es más adecuada a través de la representación en ecuaciones de
estado. Por esto derivando la ecuación (7) con respecto al tiempo:
Resolviendo
las ecuaciones (12) y (13) para
y
,
y reemplazando estos resultados en (16), el modelo obtenido es:
con
A = TdMe-1TdT, R=JM-1JT
y z=[za
zr
zs]T.
Es
importante observar que la fuerza y la condición de contacto no aparecen
explícitamente. Por este motivo un controlador utilizando la dinámica
inversa podría ser fácilmente obtenido, donde el objetivo es controlar las
fuerzas en las direcciones dinámica (la)
y estática (lr) y
el movimiento en las direcciones cinemáticas
(
).
La
estructura del controlador 2DOF utilizado es ilustrada en la figura 1.
Figura 1: Controlador de Dos Grados de Libertad
El
sistema a ser controlado es representado por una función de transferencia
racional y estrictamente propia:
donde
los polinomios
a(s) y c(s)
son asumidos como coprimos.
El
controlador 2DOF tiene dos entradas, la salida a ser controlada y la entrada
de referencia, y una salida (la variable de control). Puede ser representado
por:
Una ventaja de la estructura 2DOF al contrario de estructuras clásicas como
PID y PD, es que permite considerar en forma independiente objetivos de
malla (estabilidad, robustez, atenuación del ruido) y objetivos de salida
[Wolovich 95, Fernando 98].
Los
polos de malla cerrada son dados por las raíces de la siguiente ecuación
característica:
Una
localización arbitraria de polos y estabilidad de malla cerrada pueden ser
alcanzados determinando polinomios
h(s)
y q(s)
de orden
(n-1).
El
comportamiento entrada salida puede ser obtenido a través del cancelamiento
de n-1
polos de malla cerrada con
las raíces del polinomio q(s)=a
(s)
de orden
n-1.
La función de
transferencia correspondiente es:
La
selección de los polinomios
y
con grados
n y n-1
respectivamente
puede ser realizada a través de la minimización del índice cuadrático LQR como:
Los
polos óptimos de malla cerrada pueden ser obtenidos a través de las
siguientes factorizaciones espectrales:
(25)
Donde
las n raíces de D(s)+=0 y
+=0 pertenecen a la región estable del plano complejo. Los
factores de ponderación r>0
y s>0
permiten escoger diferentes polos de malla
cerrada y por lo tanto modificar la ganancia en frecuencia y la respuesta de
salida.
El
seguimiento de referencia y la eliminación de la perturbaciones pueden ser
obtenidas utilizando el principio del
modelo interno. En forma particular para el error
e(t)=y(t)-r(t),
debido a una referencia, es definido por la siguiente función de
transferencia:
Con
la referencia dada por
r(s)=mr(s)/pr(s)
el error nulo
en régimen permanente es obtenido si:
La
ecuación (27) representa el clásico principio del
modelo interno, y la ecuación (28), impone algunas restricciones
para la selección de
q(s),
que
son tomadas en cuenta en el proyecto.
El
procedimiento detallado corresponde al algoritmo para error
nulo y robusto en régimen permanente a través del índice LQR
propuesto por [Wolovich 95].
Descripción del Robot SCARA
El
robot SCARA a ser empleado en las simulaciones ilustrado en la figura 2, fue
construido en el instituto de robótica de la Universidad Técnica de Zurich
ETH, en Suiza.
Figura
2:
Robot Industrial SCARA
Este
robot tiene cuatro grados de libertad. La primera, segunda y última
articulación son de rotación y la tercera de traslación. Los actuadores
en cada una de las articulaciones son motores de corriente alterna, la
transmisión en las dos primeras articulaciones es realizada a través de harmonic drives [Gruener 2001], con una reducción de 100/1,
cuya salida está conectada directamente a cada uno de los brazos del robot.
En las dos últimas articulaciones la reducción es realizada a través de
poleas y cadenas, que mueven un sistema ball-screw-spline.
Los dos últimos motores trabajan de forma acoplada provocando movimientos
simultáneos en estas dos articulaciones.
Las
mediciones de posición y velocidad son realizadas a través de sensores de
posición (encoders) y de sensores
de velocidad (tacómetros). Un
sensor de fuerza es acoplado entre la muñeca y el elemento final para la
medición de la fuerza y momentos en los ejes x,y,z
del sistema de referencia. Los parámetros correspondientes a cada una de
las articulaciones del robot son presentadas en la tabla 1.
|
qi
|
M(Kg)
|
l(m)
|
I(Kg
m2)
|
lc(m)
|
|
q1
|
11.4
|
0.25
|
0.23
|
0.118
|
|
q2
|
19.5
|
0.25
|
0.16
|
0.116
|
|
q3
|
2
|
-
|
0.1
|
-
|
|
q4
|
1.5
|
0
|
0.1
|
0
|
Tabla
1:
Parámetros del Robot SCARA
Definición de la Tarea
Considerando
el sistema de coordenadas en la base del robot y su correspondiente espacio
de trabajo, una tarea de corte es definida para mover el elemento final
sobre el eje x de la posición 0.15
m a 0.45 m, siguiendo una trayectoria especificada por un polinomio de
quinto orden y manteniendo las dos últimas articulaciones fijas en 0.4
m y 0.0 rad respectivamente; por otro lado una fuerza variable de 0
N a 2 N es aplicada sobre el eje -z,
la fuerza también varía de acuerdo a un polinomio de quinto orden.
Por
las características constructivas del robot SCARA, la variable de
restricciones cinemáticas sk
puede ser definida en los ejes x y
y como:
derivando
la ecuación (29) respecto al tiempo se obtiene:
La
fuerza de reacción es parametrizada en la forma Fr=Yrlr,
donde la matriz
Yr
debe satisfacer
la condición de ortogonalidad,
TTYr= 0.
Entonces es
obtenido:
con
Yr =[1 0]T Þ
Fr= Yr lr=
[lr 0]T.
Resultados de Simulación
Considerado
inicialmente el caso nominal. Las funciones auxiliares de transferencia pr
y los factores de ponderación
r
y s
utilizados para determinar los polinomios
h(s), k(s) y q(s)
para los
controladores de fuerza y posición son presentados en la tabla 2; estos
factores fueron obtenidos de forma que sean cumplidas, las condiciones de
malla y las condiciones de salida.
|
Control
|
Pr
|
r
|
s
|
|
Fuerza
|
1/s2
|
104
|
0
|
|
Posición
|
1/s
|
104
|
1011
|
Tabla
2:
Factores de ponderación
Las
figuras (3), (4), (5) y (6) ilustran los errores de posición y fuerza
respectivamente así como las ganancias de malla y la funciones de
sensibilidad para los controladores. Se puede observar que los errores son
del orden de 10-4 y 10-2 y que el error en régimen
permanente es nulo. Por otro lado a través del análisis de ganancia de
malla y de la función de sensibilidad definidas como:
se puede verificar los siguientes valores de margen de ganancia GM, margen
de fase FM
y margen de estabilidad
=1/max|s(jw)|
[wolovich,95]: malla de posición GM = 10 db, FM=32o
y
=1 db; para la malla de fuerza GM=15 db, FM = 31o y
=0.01 db
estos valores proporcionan al proyecto buenas propiedades de
robustez a variaciones paramétricas y perturbaciones externas, lo que es de
extremo interés para futuras aplicaciones prácticas.
Figura 3: Error de Posición
Figura 4: Error de Fuerza
Figura 5: Ganancia de Malla
Figura
6: Función de sensibilidad
Fueron
proyectados controladores de dos grados de libertad considerando
restricciones cinemáticas. Los controladores fueron proyectados eliminando
las no linealidades del robot y usando el índice LQR. Una tarea de corte
fue simulada considerando el espacio de trabajo del robot y fue observado el
desempeño de los controladores propuestos, cuyos resultados de simulación
fueron satisfactorios. En la actualidad, está siendo realizada la
implementación práctica.
| REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS |
Bisso, C. J. V. ,Controle de
Posição de Robôs Manipuladores Rígidos
e com Transmisões Flexiveis,Dissertação de Mestrado, Universidade
Federal de Santa Catarina ,Brasil, (1999).
Chiavernini and L. Sciavicco, The parallel approach to force/position control of robotic manipulators,
IEEE, Transactions on Robotics and Automation, 361-373, (1993).
Fernando T. P. V. and Holohan A., Independient
Joint Control using two degree of freedom control structures, Procceding
of IEEE Internacional Conference on Control Applications, 552-556,Italy
(1998).
Javier. T. Vargas, E. R. de
Pieri e E. Castelan, Controle de Posição
de um Robô tipo SCARA Usando Controladores de Dois Graus de Liberdade,
Congreso Brasileiro de Automática, 699-704, Brasil, (2000).
Hogan N., Impedance
Control: Na Aproach to manipulation part I, II, III, Journal of Dynamics
Systems Measurements and Control,1-24, (1985).
Hüppi R. and Gruener, Software Documentation for SCARA Robot, Swiss Federal Institute of
Technology, Swiss, (2001).
Luca A and Manes C., Modeling of Robots in Contact with Dynamic Enviroment, IEEE
Transactions on Robotics and Automation, 542-548, (1994).
Mason M. T. , Compliance
and Control for Computer Controlled Manipulators, IEEE Transactions on
Systems Man and Cybernetics, 418-432, (1981).
McClamrock N. and Wang D., Feedback Stabilization and Tracking of Contrained Robots, IEEE
Transactions on Automatic Control , 419-426, (1988).
Raibert
M. and Craig J.., Hybrid Position-Force Control of Manipulators, Journal of Dynamics
Systems Measurement and Control ,126-133, (1981).
Salisburry J. K., Active Stiffness Control of a Manipulator in Cartesian Coordinates,
Procceding of IEEE Internacional Conference on Decision and Control, 95-100,
(1980).
Vukobratovic M and Rodic A., Control of Manipulation Robots Interactino with Dyanamic Enviroment:
Implementation and Experiments, IEEE Transactions on Industrial
Electronics , 358-366, (1995).
Vukobratovic M and Tuneski A, Contact Control Concepts in Manipulation Robotics na Overview, IEEE
Transactions on Industrial Electronics , 12-24, (1994).
Weihmann L. ,Descrição,
Instalação,Programação e Funcionamento de um Robô SCARA, Dissertação
de Mestrado,Universidade Federal de Santa Catarina ,Brasil, (1999).
Whitney
D. E. , Force Feedback Control of Manipulator Fine Motions, Journal of
Dynamics Systems Measurement and Control ,212-222, (1977).
Whitney
D. E. , Historical Perspective and State of the Art in Robot Force Control,
Int. Journal of Robotics Research, 3-14, (1987).
Wolovich
W. A., Automatic Control Systems: Basic Analysis and Design, Sauders
College Publishing, (1995).
